Устойчивая ставка изъятий от Х. Бессембиндера

Речь о выпуске 397 и статье «How Should Investors Long-Term Returns be Measured?».

Устойчивая доходность ¶

Sustainable Return (SR) — это показатель, определяющий размер фиксированной периодической выплаты (аннуитета), которая позволяет полностью сохранить покупательную способность капитала к концу инвестиционного периода. Не путать с S из ESG, тут связи нет.

Принципиальное отличие SR от средних арифметической (AM) или геометрической (GM) доходностей заключается в том, что SR является решением уравнения денежных потоков. Автор вывел аналитическое решение (closed-form solution) для расчета ex-post SR (на основе уже прошедшего периода). Ниже привожу формулы.

Эволюция баланса счета (где $I_t$ — баланс в момент $t$, $R_t$ — полная доходность, а $A$ — сумма изъятия):

$$\displaystyle I_t = I_{t-1}R_t - A$$

Определение полной доходности buy and hold (GBHR, gross buy and hold return) от момента $t$ до конца периода $T$:

$$\displaystyle GBHR_{t,T} = \prod_{j=t+1}^{T} R_j$$

Уравнение конечного капитала к моменту $T$:

$$\displaystyle I_T = I_0 GBHR_{0,T} - \sum_{t=1}^{T} A \cdot GBHR_{t,T}$$

Формула для Sustainable Return (SR), выведенная при условии сохранения капитала $I_T = I_0$ и определении $SR = A/I_0$:

$$\displaystyle SR = \frac{GBHR_{0,T} - 1}{\sum_{t=1}^{T} GBHR_{t,T}}$$

Связь с риском последовательности доходностей (SoRR) ¶

В отличие от CAGR (GM), который зависит только от начальной и конечной точек, SR чувствителен к порядку доходностей.

• Каждое изъятие влияет на капитал пропорционально величине будущей упущенной доходности от суммы изъятия до конца периода.
• Если низкие доходности случаются в начале периода, знаменатель формулы SR растет, что резко снижает «устойчивую» сумму изъятия.
• Если рынок рос в начале, инвестор мог бы безопасно изымать значительно больше, даже если итоговый CAGR за 30 лет будет таким же, как в сценарии с плохим стартом.

Контексты применения SR ¶

1. Ex-ante (планирование). Бессембиндер доказывает, что при условии независимости и одинакового распределения доходностей (IID) ожидаемый SR примерно равен ожидаемой геометрической доходности ($E(SR) \approx E(GM)$). Это значение всегда ниже арифметического среднего (AM), которое академические финансы часто ошибочно используют для долгосрочных прогнозов или оценки результатов (например, в Sharpe Ratio).
2. Ex-post (анализ прошлых данных). Фактический SR может существенно отличаться от GM именно из-за реализовавшейся последовательности доходностей. SR — это «честная» доходность в том смысле, что она показывает, сколько реально было доступно для изъятия с учетом волатильности и SoRR на конкретном историческом периоде.

Сравнение с другими стратегиями изъятия ¶

• SWR Уильяма Бенгена (Правило 4%): Целью Бенгена является выживаемость портфеля (longevity) при постоянной сумме изъятий или снижение риска того, что деньги закончатся рано (risk of ruin) — чтобы капитал не обнулился в течение 30 лет. SR Бессембиндера нацелен на сохранение тела капитала в реальном или номинальном измерении (можно выбрать).
• Стратегия Гайтона/Клингера: Это система правил, которые динамически меняют сумму изъятия в зависимости от текущего размера капитала, но делают это плавно, ограничивая изменение в конкретный период. Бессембиндер как вариант реализации стратегии изъятий на основе SR предлагает определять суммы изъятий от текущей рыночной стоимости портфеля. Это гарантирует отсутствие банкротства, но делает доход волатильным.
• Amortization Based Withdrawal (ABW): ABW — это гибкий конструктор на основе амортизации по функции PMT в Excel. Сумма изъятия в каждом следующем периоде пересчитывается на основе текущего баланса, ожидаемой доходности и оставшегося времени. Формулу можно настроить и на сохранение капитала, задав конечный баланс $B = I_0$, и на проедание. Можно выбрать темп роста графика изъятий — забирать меньше в начале, чтобы иметь больше в конце, или наоборот. На мой взгляд, этот подход можно объединить с тем, что предлагает автор, используя SR в качестве ожидаемой доходности и начальный баланс в параметре конечного размера капитала. Он и так принимает в себя CAGR (GM), но если давать на вход ex-post SR, можно учесть и риск последовательности доходностей. При этом немного сгладив волатильность изъятий.

Пример на глобальном портфеле акций ¶

Автор приводит расчеты для глобально диверсифицированного портфеля акций, взвешенного по капитализации, за период 1990–2022:

• Номинальный SR: 0,52% в месяц. Если бы изымался этот процент от начального баланса, через 33 года на счету останется та же номинальная сумма.
• Реальный SR (очищенный от инфляции): 0,31% в месяц (~3,7% в год). Если бы изымался этот процент, через 33 года осталась бы сумма, имеющая ту же покупательную способность, что и начальная. При этом рост изъятий в среднем ожидается на уровне инфляции, ведь доходность портфеля её в себя включает.

Бессембиндер пишет, что попытка изымать фиксированную сумму, опираясь на прошлый SR, сопряжена с риском банкротства, если геометрическая доходность в будущем окажется ниже или отрицательной. Поэтому наиболее безопасным (но волатильным) способом является изъятие процента $a$ от текущего остатка:

$$\displaystyle a = \frac{GM}{1+GM}$$

где $GM$ — ожидаемая долгосрочная геометрическая доходность.

Почему GM? Эта формула — результат решения уравнения динамики капитала для случая, когда вы каждый раз изымаете постоянную долю от текущей стоимости портфеля. При изъятии фиксированного процента риск последовательности доходностей (SoRR) математически нивелируется тем, что вы автоматически сокращаете изъятия при падении рынка и увеличиваете их при росте. В этом случае для того, чтобы капитал вернулся к исходной точке, важен только общий накопленный результат (т. е. CAGR или GM), а не то, в каком порядке шли плохие и хорошие годы.

Поскольку для планирования (ex-ante) автор доказывает, что ожидаемый SR примерно равен ожидаемой геометрической доходности (GM), для инвестора эти цифры становятся взаимозаменяемыми. Также для месячных значений разница между $a$ и GM ничтожна, поэтому для расчетов можем просто использовать реальную SR, приведенную выше. В этот момент SR превращается в SWR, только S здесь уже не safe, а sustainable.

Пример на конкретных суммах для портфеля в $1 000 000 при большой волатильности:

1. Месяц 1: берете реальную ставку 0,31%, по ней изъятие составит $3 100.
2. Месяц 2: рынки упали на 10%, баланс стал $897 210. Новое изъятие $2 781. Потребление сократилось, защищая капитал.
3. Месяц 3 (рынок вырос на 15%): Баланс стал $1 028 593. Изъятие = $3 188.