Демистификация натурального логарифма (ln)

После изучения экспоненты наша следующая цель – натуральный логарифм.

Это мой перевод статьи Demystifying the Natural Logarithm (ln) из блога BetterExplained. Она раскрывает смысл натуральных логарифмов и их связь с числом e и экспонентой. Это продолжение статьи об экспоненциальных функциях и числе e, перевод которой можно прочитать здесь.

Учитывая то, как натуральный логарифм описывается в учебниках по математике, «натурального» в нем мало: там он определяется как обратная функция и без того странной экспоненты.

Но есть свежее, интуитивное объяснение: натуральный логарифм выражает количество времени, необходимое для достижения определенного уровня роста.

Предположим, у вас есть инвестиции в мармеладных мишек (у кого их нет?) с процентной ставкой 100%, и процесс роста у них непрерывный [имеется в виду, что «капитализация процентов» происходит непрерывно, а не раз в месяц или год – прим. перев.]. Если вы хотите 10-кратного роста, предполагая непрерывное начисление сложных процентов, подождать придется лишь ln(10) или 2,302 года. Непонятно, почему для десятикратного роста требуется всего несколько лет и почему ряд здесь не 1, 2, 4, 8? Прочитайте статью о числе e.

e и натуральный логарифм – это близнецы:

• e^x (экспонента) выражает значение, которое мы получим после старта с 1.0 и непрерывного роста в течение x единиц времени.
• ln(x) (натуральный логарифм) – это время, за которое достигается значение x, при условии, что мы непрерывно росли с 1.0.

Неплохо, верно? Пока математики пытаются дать вам длинное техническое объяснение, давайте погрузимся в интуитивное.

Число e и рост

Число e выражает собой постоянный рост. Как мы видели в прошлый раз, e^x позволяет нам объединить ставку и время: 3 года при 100%-м росте – это то же самое, что 1 год при 300%-м росте при непрерывном начислении сложных процентов.

Мы можем взять любую комбинацию ставки и времени (50% на 4 года) и преобразовать ставку в 100% для удобства (что дает нам 100% на 2 года). Приводя ставку к 100%, мы можем думать только о компоненте времени:

e^x = e^{ставка∙время} = e^{1.0∙время} = e^время

Интуитивно, e^x значит:

• Сколько роста я получу через x единиц времени (если ставка 100%).
• Например: через 3 единицы времени у меня будет e³ = в 20,08 раз больше чего-то.

e^x – это коэффициент масштабирования, показывающий, какой рост [в разах – прим. перев.] мы получим через x единиц времени.

Натуральный логарифм и время

Натуральный логарифм – это функция, обратная e^x, причудливый термин для противоположности. Кстати говоря, аббревиатура ln происходит от латинского logarithmus naturali.

Что значит обратная или противоположная?

• в e^x мы подставляем время [вместо x – прим. перев.] и получаем рост.
• в ln(x) мы подставляем рост и получаем время, требующееся для его достижения.

Например:

• e³ = 20,08. После 3 единиц времени получаем в 20,08 раз больше того, с чего начали.
• ln(20,08) ≈ 3. Если мы хотим вырасти в 20,08 раз, надо подождать 3 единицы времени (предполагая, что ставка непрерывного роста у нас 100%).

Вы еще со мной? Натуральный логарифм дает нам время, необходимое для достижения желаемого роста.

Арифметика логарифмов не нормальная

Вы уже изучали логарифмы раньше, и это странные звери. Как умножение превращается в сложение, а деление – в вычитание? Давайте посмотрим.

Чему равен ln(1)? Интуитивно, вопрос здесь такой: Сколько мне подождать, чтобы получить в 1 раз больше текущего значения?

Нисколько, нуль. Вы уже на уровне 1x текущего значения! Ни сколько времени не требуется, чтобы из 1 дорасти до 1.

• ln(1) = 0

Хорошо, что насчет дробных значений? Сколько займет [отрицательный – прим. перев.] рост до 1/2 от текущего значения? Предполагая непрерывный рост по ставке в 100%, мы знаем, что ln(2) – это время, требующееся для удвоения значения. Если мы возьмем обратную величину роста (т. е. обратную степень [2^(-1) или единицу поделим на 2: 1 / 2 – прим. перев.]), у нас останется половина:

• ln(.5) = -ln(2) = -.693

Логично? Если мы вернемся назад на 0,693 единицы (пусть будут отрицательные секунды), у нас будет половина текущего количества. В общем случае вы можете перевернуть дробь и взять отрицательное значение: ln(1/3) = -ln(3/1) = -ln(3) = -1,09. В этом примере, если мы вернемся на 1,09 единиц времени назад, у нас будет треть от того, что есть сейчас.

Хорошо, а как насчет натурального логарифма отрицательного числа? Сколько времени требуется, чтобы «вырастить» колонию бактерий с 1 до -3?

Это невозможно! Не может быть «отрицательного» количества бактерий, не так ли? В лучшем случае (эм… как минимум) бактерий может быть ноль, но нет никакого способа получить отрицательное количество маленьких тварей. Отрицательные бактерии не имеют никакого смысла.

• ln(отрицательного числа) = не определен

Неопределенность значит, что нет такой величины времени, которую вы могли бы подождать до отрицательного роста, выраженного в разах [в финансах цена актива в худшем случае тоже может упасть в 0 раз, т. е. на -100% или до нуля, но не меньше, не считая ПФИ – прим. перев.]. (Если использовать воображаемые экспоненты, решение есть. Но сегодня давайте останемся в реальности.)

Умножение логарифмов – это очень весело

Сколько времени потребуется, чтобы увеличить текущее значение в 9 раз? Конечно, мы могли бы посчитать ln(9). Но это слишком просто, давайте отличимся.

Можно считать, что 9-кратный рост – это утроение (за ln(3) единицы времени) и затем еще одно утроение (за еще ln(3) единицы времени):

• Время для 9-кратного роста = ln(9) = Время утроения и еще одного утроения = ln(3) + ln(3)

Интересно. Любое число роста можно разложить как хочешь, например, рост в 20 раз – это 2-кратный рост, за которым следует 10-кратный рост. Или 4-кратный рост, за которым следует 5-кратный рост. Или 3-кратный рост, за которым следует 6,666-кратный рост. Видите правило?

• ln(a ∙ b) = ln(a) + ln(b)

Логарифм a умножить на b = log(a) + log(b). Это правило обретает смысл, если думать в терминах времени роста.

Если мы хотим вырасти в 30 раз, мы можем подождать ln(30) сразу или подождать ln(3) до утроения, а затем еще ln(10) для роста в 10 раз. Чистый эффект тот же, поэтому и чистое время должно быть таким же (и это так).

Что насчет деления? ln(5/3) означает: сколько времени потребуется, чтобы вырасти в 5 раз, а затем вернуться к 1/3 от этого роста?

Рост в 5 раз займет ln(5). Рост на 1/3 = -ln(3) единицы времени. Поэтому:

• ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

Рост в 5 раз и «перемотка назад во времени» до момента, пока у нас не останется треть от этого значения, в итоге дает рост 5/3. Общее правило такое:

• ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

Надеюсь, что странная математика логарифмов начинает обретать смысл: умножение роста становится сложением времени, деление роста становится вычитанием времени. Не заучивайте правила, понимайте их.

Использование натуральных логарифмов с любой ставкой

«Конечно, – скажите вы, – эти логарифмы работают для ставки в 100%, но что насчет 5%, которые я обычно получаю?»

Не проблема. «Время», которое мы получаем из ln(), на самом деле представляет собой комбинацию ставки и времени, такую же, что и в «x» из уравнения e^x. 100% предполагались для простоты, но можно использовать и другие числа.

Предположим, нам нужен 30-кратный рост: подставляем в ln(x) и получаем ln(30) = 3,4, что можно представить как:

• e^x = рост
• e^3,4 = 30

Интуитивно это значит «доходность по ставке 100% за 3,4 года – это 30-кратный рост», что в виде уравнение можно представить как:

• e^x = e^{ставка∙время}
• e^{100%∙3,4 года} = 30

Мы можем менять «ставку» и «время» как угодно пока произведение ставки и времени остается равным 3,4. Предположим, что мы хотим 30-кратного роста – как долго его ждать, если ставка доходности будет 5%?

• ln(30) = 3,4
• ставка ∙ время = 3,4
• 0,05 ∙ время = 3,4
• время = 3,4 / 0,05 = 68 лет

Интуитивно, я думаю «ln(30) = 3,4, поэтому при ставке 100% потребуется 3,4 года. Если я удвою ставку, то сокращу необходимое время вдвое».

• 100% на 3,4 года = 1,0 * 3,4 = 3,4
• 200% на 1,7 года = 2,0 * 1,7 = 3,4 [ставка 200% сокращает время вдвое]
• 50% на 6,8 лет = 0,5 * 6,8 = 3,4 [ставка 50% увеличивает время вдвое]
• 5% на 68 лет = 0,05 * 68 = 3,4 [ставка 5% увеличивает время в 20 раз]

Круто, да? Натуральный логарифм можно использовать с любой процентной ставкой или временем, если результат их умножения одинаковый. Меняйте переменные как хотите.

Отличный пример: правило 72

Правило 72-х – это простой способ вычислить время, необходимое для того, чтобы удвоить ваши деньги. Мы выведем его уравнение и, еще лучше, поймем его интуитивно.

Сколько времени потребуется, чтобы удвоить ваши деньги при процентной ставке 100%, начисляемой ежегодно?

Упс. Мы использовали натуральный логарифм для непрерывного роста, но теперь речь пошла про годовую ставку. Не испортит ли это нашу формулу? Да, испортит, но при разумных процентных ставках, таких как 5%, 6% или даже 15%, нет большой разницы между ежегодно начисляемыми процентами и полностью непрерывными. Так что грубая формула работает… грубо, и мы притворимся, что получаем полностью непрерывный процент.

Тогда вопрос упрощается: за сколько времени можно удвоить вложение при ставке 100% годовых? ln(2) = 0,693. Потребуется 0,693 единицы времени (в этом случае лет), чтобы удвоить ваши деньги с непрерывным начислением сложных процентов по ставке 100%.

Хорошо, а что, если ставка у нас не 100%, а 5% или 10%?

Все просто. Пока ставка * время = 0,693, мы удваиваем наши деньги за:

• ставка ∙ время = 0,693
• время = 0,693 / ставка

Итак, если бы ставка была 10%, удвоение капитала заняло бы 0,693 / 0,10 = 6,93 года.

Для упрощения умножим всё на 100, чтобы можно было говорить о 10, а не о 0,10:

• время на удвоение = 69,3 / ставка (здесь ставка уже указывается в процентных пунктах).

Время на удвоение при ставке 5% составляет 69,3 / 5 или 13,86 лет. Однако 69,3 — не самое делимое число. Давайте выберем ближайшего соседа, 72, его можно разделить на 2, 3, 4, 6, 8 и многие другие числа.

• время на удвоение = 72 / ставка

Что и является правилом 72! Изи бризи.

Если хотите найти время утроения, надо использовать ln(3) ≈ 109,8 и получится

• время на утроение = 110 / ставка

Это еще одно полезное практическое правило. Правило 72 полезно для процентных ставок, роста населения, бактериальных культур и всего, что растет экспоненциально.

Приложение: натуральный логарифм числа e

Быстрая задачка: Чему равен ln(e)?

• Робот-математик скажет: поскольку они определены как обратные функции, очевидно, что ln(e) = 1.
• Человек с интуицией: ln(e) – это количество времени, необходимое для получения «е» единиц роста (около 2,718). Но e – это величина роста за 1 единицу времени, поэтому ln(e) = 1.

Включайте интуицию.

---